瑞利散射功率与频率的关系是怎么得到的？震荡电子在远处的电磁辐射是怎样的？什么是电磁势的远场、非相对论展开？9月30日12时，《张朝阳的物理课》第八十九期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先给网友们复习了推迟势解，然后对一个在原点附近沿z轴运动的电子的电磁势做了远场展开，成功求出电磁势的近似形式，并由此求出了与辐射有关的电磁场部分，第一性地得到了瑞利散射功率与频率的关系。

考虑非相对论近似 远场展开求出电磁势

在之前课程中，张朝阳引入了电磁势Ф与A，它们与电磁场的关系为

在使用洛伦兹规范下，可以得到电磁势满足的方程为

这组方程解过的结果为

这就是电磁势的推迟解，有时候也被称为推迟势解。

张朝阳提到，此前课程中为了解释天空为什么是蓝色的，介绍了瑞利散射。当时因为还没介绍电动力学，因此只能使用现成的结果：

这是做任意运动的带电粒子在空间中某一点所产生的电场公式，其中的r’是考虑了推迟效应在内时电子到目标位置的距离。当时直接使用了这个公式，最后得到了受迫振动带电粒子的辐射功率与频率的关系。

张朝阳介绍说，现在有了电动力学的基础，就不用借助前述公式了。为此，他再次回到介绍瑞利散射时用到的模型上：原子核因为质量很大，受电磁波的影响较小；电子在入射电磁波的影响下受迫振动，然后辐射出新的电磁波，这就是瑞利散射。

假设电荷为q的粒子在原点附近沿着z轴(往复)运动，速度相对于光速来说很低。这时候，电荷密度可以写为

那么，标量势为

其中第二行已经积掉x2与y2的狄拉克函数，并且将r21中的x2与y2都置为0。

直接计算上式中的积分是比较麻烦的，不过如果只是关心辐射的话，可以只关心距离原点很远的位置上的电磁势。由于积分中狄拉克函数的存在，只有在zq附近的那部分z2才能给出非零的积分值，于是可以只考虑原点附近的z2。参考下图

那么有

于是

那么，在运动状态是缓慢变化的情况下，带电粒子的推迟位置可以近似为

其中的z上面一点表示对自变量的一阶导数。后文还会用到二阶导数，将会用两个点表示。将上式代入积分式中的狄拉克函数内，可以得到

于是

其中最后一步近似(倒数第二行)利用了zq远小于r的远场条件，zq对自变量的导数已经被速度v替换了。

这个点电荷的电流密度可以写为

经过类似的近似推导，可以得到矢量势为

张朝阳求解远场、低速展开下的电磁势

求矢势旋度得到磁场 计算能量密度得频率关系

有了电磁势之后就可以求解电磁场了。相对来说，求磁场会比求电场简单，张朝阳介绍了求解磁场的过程。因为这里关心的是电磁辐射，因此只需要求电场、磁场中随着r增大以1/r的速度衰减的项，比1/r的衰减速度还要高的项不会贡献电磁辐射。

因为粒子运动速度远小于光速，因此推迟势分母中的(r-r·v/c)可以近似为r。矢势的旋度等于磁感应强度，而旋度算符作用在1/r上会得到一个以1/r^2速度衰减的项，因此可以直接忽略，这样的话，只需要考虑▽算符作用在矢量势分子上的项。用Br表示与辐射有关的磁感应部分，根据这里的分析，有

可见磁感应强度正比于推迟的粒子加速度，并且与传播方向垂直。

如果只关心磁感应强度的大小的话，可以得到

其中a表示带电粒子的加速度。

求解电场的话会发现它满足如下关系：

回到瑞利散射的情况，此时带电粒子做的是受迫振动，设其振动频率为ω，那么

所以加速度为

由此可得辐射相关部分的电磁能量密度为

如果考虑的是时间平均值，那么上式的正弦函数平方应该被替换为1/2。另一方面，瑞利散射功率密度正比于此能量密度，因此可以知道瑞利散射强度正比于频率的四次方。

张朝阳从电磁势求出辐射相关电磁场及能量密度

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