如何证明散度定理与高斯定理？泊松公式又是如何推导出来的？7 月 1 日中午 12 时，《张朝阳的物理课》第六十七期开播，搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先简单介绍了矢量微积分中的一些基本概念，包括标量场、矢量场以及一些重要的微分算子等，随后利用简单的几何方法证明了散度定理。之后他以引力为例做矢量微分运算，对引力势求梯度得到引力场强度，并且证明了高斯定理，随后进一步结合散度定理推导出了泊松公式。

散度定理

在讲解与证明散度定理之前，张朝阳先介绍了矢量微积分的一些基本概念。给每个空间点赋予某个量，即可构成某种场。如果每个空间点上的量只用一个数就能描述，那这种场称为标量场 u(x,y,z)；如果每个空间点上的量不是单个的数而是矢量，则称这种场为矢量场。设矢量 i、j、k 分别是与直角坐标 x、y、z 轴对应的单位矢量，矢量场 F 可具体写为:

接着介绍一些基本的微分算子，其中最重要的是▽算子。数学符号▽一般读作 Nabla，利用直角坐标系，▽算子可写为：

在矢量微积分运算中，▽算子具有微分和矢量双重运算性质，可以简化运算，并且推导过程简明扼要易于掌握。将▽算子作用在一个标量场 u(x,y,z)上，得到的结果称为标量场 u 的梯度：

将▽算子与矢量场 F(x,y,z)做点乘运算，所得结果称为标量场 u 的散度：

除了将▽算子与场作用之外，▽算子也能与自己点乘，得到大名鼎鼎的拉普拉斯算子：

介绍完上面这些基本知识，开始讨论散度定理。对于一个闭合曲面，选取曲面上的一个面积微元。设微元面积大小为 dS，微元法向单位矢量为矢量 n。对于该面积微元定义一个与之相联系的矢量为：

那么将该面积微元处的矢量 F 与面积微元对应的矢量 dS 点乘后，对整个闭合曲面积分，得到矢量场 F 在整个闭合曲面的通量为：

散度定理是说，此通量等于闭合曲面内矢量场 F 的散度的体积分

现在利用简单的几何知识来证明这个定理。先将矢量 dS 写成分量形式：

那么通量可以写成：

张朝阳证明散度定理

如上图所示，选取一个细小的平行于 z 轴的长方体，它在封闭曲面上截取了两个面积微元， 并在 xy 平面上也截取一个面积微元 dxdy。由于 dSz 是矢量 dS 的 z 分量，所以曲面上面积微元在 xy 平面上的投影即为 dSz，因而有 dSz=dxdy。但因为细小长方体截取出来的两曲面面积元的法向 n 的z 分量是相反的，因此它们相差一个负号。设长方体截取的两个曲面面积元的坐标的 z 分量分别为 z1 与 z2，并且 z1>z2，那么可以将上述关于矢量场分量 Fz 的闭合曲面积分改写为：

通过上式可以看到，曲面积分变成曲面内的体积积分。同理，对 Fx 与 Fy 的积分也可以用同样的方法处理得到类似的结果，只需将上式中的 z 换成x 或y 即可。最终，将三个分量的等式加起来，可以得到：

这正是散度定理的分量形式，至此完成了散度定理的证明。

势场与力的关系

通过更早之前的课程可知，质量为 m2 的质点 2 受到质量为 m1 的质点 1 的引力势能为：

其中 r1 是质点 2 相对于质点 1 的距离，设质点 2 的坐标为(x,y,z)，而质点 1 的坐标为(x1,y1,z1)，那么 r1 可具体表达为：

观察 u 的表达式，可以发现 u/m2 是一个只与质点 2 的位置有关的量，而与质点 2 的其它性质无关。由此进一步定义在(x,y,z)处每单位质量感受到的引力势能为引力势：

对引力势做梯度运算，可以得到：

为了求得引力势梯度中的偏导，将 r1^2 的表达式对 x 进行求导可得：

同理也可以得到 r1 关于y 与z 的偏导，将这些导数的表达式代入引力势的梯度：

其中：

正是由质点 1 的坐标(x1,y1,z1)指向坐标(x,y,z)方向的单位矢量。

张朝阳计算引力势的梯度

对比牛顿万有引力公式：

可以发现，质量为 m2、坐标为(x,y,z)的质点受到的引力，与引力势的梯度有如下关系：

于是又可以定义质点 1 产生的引力场强度 g 为：

处在这个引力场内的质点感受到的来自质点 1 引力，为该质点的质量与质点 1 产生的引力场强度的乘积，正如电场力为电场强度乘以电荷量一样。

对于多个质点 i=1,2,3...产生的引力势和引力场，可直接由叠加原理得到：

高斯定理与泊松公式

若质量是以连续的分布存在，只需要将上述的求和改成积分号即可得到引力场强度的表达

式：

dm 是质量微元，r_m 是场点到质量微元 dm 的距离，矢量 e 是体积微元指向场点方向的单位矢量。

现在选取一个闭合曲面，计算曲面上引力场强度矢量 g 的通量：

其中，第二个等号交换了曲面面积元 dS 与质量微元 dm 的积分顺序。

张朝阳证明高斯定理

如上图所示，注意到曲面面积元 dS 在单位矢量 e 方向上的投影正是：

而投影的面积除以它到 dm 距离的平方，就是曲面面积元所张的立体角：

所以，引力场强度矢量 g 在整个闭合曲面上的通量的表达式可继续化简为：

其中，最后一个等号将质量微元 dm 用体积微元 dV 与质量密度ρ重新表达了。另外，第二个等号需要特别解释一下，当 dm 在闭合曲面内部时，它对整个闭合曲面的积分为 4π，而当dm 在曲面外部时，从 dm 处张开的一个微小立体角 dΩ会在闭合曲面上截出两个曲面微元， 两者的法线在立体角方向上的分量是方向相反的，做积分时刚好抵消。所以第二个等号之后， 只选取处在闭合曲面内的 dm 进行积分。上面这个等式称为高斯定理，它说明了引力场强度关于一个闭合曲面的通量正比于闭合曲面包含的总质量。

高斯定理将面积分变成体积分，前面的散度定理也是将面积分变成体积分，将散度定理应用到引力场上得到：

对比高斯定理可以得到引力场强度的散度与质量密度的关系：

再根据引力场强度与引力势的关系，可以进一步得到引力势与质量密度的关系：

这就是泊松公式。泊松公式不仅仅适用于引力的情形，它对于任何平方反比的力都适用，例如库伦力。泊松公式在物理学上有非常多的应用。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜 狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻 APP 的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。